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선형 대수 예제
단계 1
단계 1.1
특성방정식 를 구하기 위하여 공식을 세웁니다.
단계 1.2
크기가 인 단위행렬은 주대각선이 1이고 나머지는 0인 정방행렬입니다.
단계 1.3
알고 있는 값을 에 대입합니다.
단계 1.3.1
에 를 대입합니다.
단계 1.3.2
에 를 대입합니다.
단계 1.4
간단히 합니다.
단계 1.4.1
각 항을 간단히 합니다.
단계 1.4.1.1
행렬의 각 원소에 을 곱합니다.
단계 1.4.1.2
행렬의 각 원소를 간단히 합니다.
단계 1.4.1.2.1
에 을 곱합니다.
단계 1.4.1.2.2
을 곱합니다.
단계 1.4.1.2.2.1
에 을 곱합니다.
단계 1.4.1.2.2.2
에 을 곱합니다.
단계 1.4.1.2.3
을 곱합니다.
단계 1.4.1.2.3.1
에 을 곱합니다.
단계 1.4.1.2.3.2
에 을 곱합니다.
단계 1.4.1.2.4
에 을 곱합니다.
단계 1.4.2
해당하는 원소를 더합니다.
단계 1.4.3
Simplify each element.
단계 1.4.3.1
를 에 더합니다.
단계 1.4.3.2
를 에 더합니다.
단계 1.5
Find the determinant.
단계 1.5.1
행렬의 행렬식은 공식을 이용해 계산합니다.
단계 1.5.2
행렬식을 간단히 합니다.
단계 1.5.2.1
각 항을 간단히 합니다.
단계 1.5.2.1.1
FOIL 계산법을 이용하여 를 전개합니다.
단계 1.5.2.1.1.1
분배 법칙을 적용합니다.
단계 1.5.2.1.1.2
분배 법칙을 적용합니다.
단계 1.5.2.1.1.3
분배 법칙을 적용합니다.
단계 1.5.2.1.2
동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.
단계 1.5.2.1.2.1
각 항을 간단히 합니다.
단계 1.5.2.1.2.1.1
에 을 곱합니다.
단계 1.5.2.1.2.1.2
에 을 곱합니다.
단계 1.5.2.1.2.1.3
에 을 곱합니다.
단계 1.5.2.1.2.1.4
곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.
단계 1.5.2.1.2.1.5
지수를 더하여 에 을 곱합니다.
단계 1.5.2.1.2.1.5.1
를 옮깁니다.
단계 1.5.2.1.2.1.5.2
에 을 곱합니다.
단계 1.5.2.1.2.1.6
에 을 곱합니다.
단계 1.5.2.1.2.1.7
에 을 곱합니다.
단계 1.5.2.1.2.2
에서 을 뺍니다.
단계 1.5.2.1.3
을 곱합니다.
단계 1.5.2.1.3.1
에 을 곱합니다.
단계 1.5.2.1.3.2
에 을 곱합니다.
단계 1.5.2.2
를 에 더합니다.
단계 1.5.2.3
와 을 다시 정렬합니다.
단계 1.6
특성다항식이 이 되도록 하여 고유값 를 구합니다.
단계 1.7
에 대해 풉니다.
단계 1.7.1
근의 공식을 이용해 방정식의 해를 구합니다.
단계 1.7.2
이차함수의 근의 공식에 , , 을 대입하여 를 구합니다.
단계 1.7.3
간단히 합니다.
단계 1.7.3.1
분자를 간단히 합니다.
단계 1.7.3.1.1
를 승 합니다.
단계 1.7.3.1.2
을 곱합니다.
단계 1.7.3.1.2.1
에 을 곱합니다.
단계 1.7.3.1.2.2
에 을 곱합니다.
단계 1.7.3.1.3
에서 을 뺍니다.
단계 1.7.3.1.4
을 로 바꿔 씁니다.
단계 1.7.3.1.5
양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.
단계 1.7.3.2
에 을 곱합니다.
단계 1.7.3.3
을 간단히 합니다.
단계 1.7.4
두 해를 모두 조합하면 최종 답이 됩니다.
단계 2
The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where is the null space and is the identity matrix.
단계 3
단계 3.1
알고 있는 값을 공식에 대입합니다.
단계 3.2
간단히 합니다.
단계 3.2.1
각 항을 간단히 합니다.
단계 3.2.1.1
행렬의 각 원소에 을 곱합니다.
단계 3.2.1.2
행렬의 각 원소를 간단히 합니다.
단계 3.2.1.2.1
에 을 곱합니다.
단계 3.2.1.2.2
을 곱합니다.
단계 3.2.1.2.2.1
에 을 곱합니다.
단계 3.2.1.2.2.2
에 을 곱합니다.
단계 3.2.1.2.3
을 곱합니다.
단계 3.2.1.2.3.1
에 을 곱합니다.
단계 3.2.1.2.3.2
에 을 곱합니다.
단계 3.2.1.2.4
에 을 곱합니다.
단계 3.2.2
해당하는 원소를 더합니다.
단계 3.2.3
Simplify each element.
단계 3.2.3.1
공통 분모를 가지는 분수로 을 표현하기 위해 을 곱합니다.
단계 3.2.3.2
와 을 묶습니다.
단계 3.2.3.3
공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.
단계 3.2.3.4
분자를 간단히 합니다.
단계 3.2.3.4.1
에 을 곱합니다.
단계 3.2.3.4.2
에서 을 뺍니다.
단계 3.2.3.5
및 의 공약수로 약분합니다.
단계 3.2.3.5.1
에서 를 인수분해합니다.
단계 3.2.3.5.2
공약수로 약분합니다.
단계 3.2.3.5.2.1
에서 를 인수분해합니다.
단계 3.2.3.5.2.2
공약수로 약분합니다.
단계 3.2.3.5.2.3
수식을 다시 씁니다.
단계 3.2.3.6
마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.
단계 3.2.3.7
를 에 더합니다.
단계 3.2.3.8
를 에 더합니다.
단계 3.2.3.9
공통 분모를 가지는 분수로 을 표현하기 위해 을 곱합니다.
단계 3.2.3.10
와 을 묶습니다.
단계 3.2.3.11
공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.
단계 3.2.3.12
분자를 간단히 합니다.
단계 3.2.3.12.1
에 을 곱합니다.
단계 3.2.3.12.2
에서 을 뺍니다.
단계 3.2.3.13
및 의 공약수로 약분합니다.
단계 3.2.3.13.1
에서 를 인수분해합니다.
단계 3.2.3.13.2
공약수로 약분합니다.
단계 3.2.3.13.2.1
에서 를 인수분해합니다.
단계 3.2.3.13.2.2
공약수로 약분합니다.
단계 3.2.3.13.2.3
수식을 다시 씁니다.
단계 3.3
Find the null space when .
단계 3.3.1
Write as an augmented matrix for .
단계 3.3.2
기약 행 사다리꼴을 구합니다.
단계 3.3.2.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
단계 3.3.2.1.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
단계 3.3.2.1.2
을 간단히 합니다.
단계 3.3.2.2
Perform the row operation to make the entry at a .
단계 3.3.2.2.1
Perform the row operation to make the entry at a .
단계 3.3.2.2.2
을 간단히 합니다.
단계 3.3.3
Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.
단계 3.3.4
Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.
단계 3.3.5
Write the solution as a linear combination of vectors.
단계 3.3.6
Write as a solution set.
단계 3.3.7
The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.
단계 4
단계 4.1
알고 있는 값을 공식에 대입합니다.
단계 4.2
간단히 합니다.
단계 4.2.1
각 항을 간단히 합니다.
단계 4.2.1.1
행렬의 각 원소에 을 곱합니다.
단계 4.2.1.2
행렬의 각 원소를 간단히 합니다.
단계 4.2.1.2.1
에 을 곱합니다.
단계 4.2.1.2.2
을 곱합니다.
단계 4.2.1.2.2.1
에 을 곱합니다.
단계 4.2.1.2.2.2
에 을 곱합니다.
단계 4.2.1.2.3
을 곱합니다.
단계 4.2.1.2.3.1
에 을 곱합니다.
단계 4.2.1.2.3.2
에 을 곱합니다.
단계 4.2.1.2.4
에 을 곱합니다.
단계 4.2.2
해당하는 원소를 더합니다.
단계 4.2.3
Simplify each element.
단계 4.2.3.1
공통 분모를 가지는 분수로 을 표현하기 위해 을 곱합니다.
단계 4.2.3.2
와 을 묶습니다.
단계 4.2.3.3
공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.
단계 4.2.3.4
분자를 간단히 합니다.
단계 4.2.3.4.1
에 을 곱합니다.
단계 4.2.3.4.2
에서 을 뺍니다.
단계 4.2.3.5
을 로 나눕니다.
단계 4.2.3.6
를 에 더합니다.
단계 4.2.3.7
를 에 더합니다.
단계 4.2.3.8
공통 분모를 가지는 분수로 을 표현하기 위해 을 곱합니다.
단계 4.2.3.9
와 을 묶습니다.
단계 4.2.3.10
공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.
단계 4.2.3.11
분자를 간단히 합니다.
단계 4.2.3.11.1
에 을 곱합니다.
단계 4.2.3.11.2
에서 을 뺍니다.
단계 4.2.3.12
을 로 나눕니다.
단계 4.3
Find the null space when .
단계 4.3.1
Write as an augmented matrix for .
단계 4.3.2
기약 행 사다리꼴을 구합니다.
단계 4.3.2.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
단계 4.3.2.1.1
Multiply each element of by to make the entry at a .
단계 4.3.2.1.2
을 간단히 합니다.
단계 4.3.2.2
Perform the row operation to make the entry at a .
단계 4.3.2.2.1
Perform the row operation to make the entry at a .
단계 4.3.2.2.2
을 간단히 합니다.
단계 4.3.3
Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.
단계 4.3.4
Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.
단계 4.3.5
Write the solution as a linear combination of vectors.
단계 4.3.6
Write as a solution set.
단계 4.3.7
The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.
단계 5
The eigenspace of is the list of the vector space for each eigenvalue.